Existe una tradicional regla publicitaria no escrita, según la cual todos los relojes deben señalar las 10:10 cuando son fotografiados para figurar en un anuncio.

Pero no es tal hora fruto del capricho, sino de un minucioso análisis estético de la imagen y de su impacto psicológico.

Para empezar, no resultan estéticas las horas en las que se superponen las agujas, pues da la impresión de que el reloj tan solo tiene una. Por ello se eliminan las 12:00, las 13:05, las 14:10, las 15:15 y las demás en que se cumpla esa regla. Por el mismo motivo se rechazan aquellas en las que las agujas estén muy próximas, pues ofrece una sensación de amontonamiento sin sentido al quedar libre el resto de la esfera. Parece que unos diez minutos (60 grados de arco) podría considerarse una distancia de separación mínima.

Tampoco son admisibles las horas en las que las agujas se oponen, pues dan la impresión de ser una sola manecilla que atraviesa la esfera por su centro, cual flecha de cupido atravesando un corazón. Por ello se eliminan las 12:30, las 18:00, las 08:05, las 17:55 y las demás en que se cumpla esa regla. Por la misma razón se rechazan, como en el caso anterior, las horas que estén muy próximas a ese ángulo recto de 180 grados de arco. Y también en este caso los diez minutos parecen corresponderse a una distancia de separación mínima.

Tenemos límites “superiores” e “inferiores” que no nos permiten acercar las manecillas a menos de unos diez minutos ni separarlas más de veinte, para mantener cierta “distancia de seguridad” respecto del ángulo nulo y del ángulo plano. Notar que si las separamos más de treinta minutos (más de 180 grados de arco) nos encontramos en la otra mitad en la misma situación.

Tal como está la situación con la esfera dividida en dos sectores (a un lado y al otro de las agujas), la solución más equilibrada visualmente es que uno de los sectores sea el doble de grande que el otro. Al dividir los 360 grados de arco en tres partes, obtenemos 120 grados de arco, lo que se corresponde con veinte minutos. ¡Ya tenemos el ángulo que deben formar las agujas!

En principio, cualquier hora que mantuviese las manecillas con un ángulo de 120 grados de arco serviría, pero es mejor no utilizar aquellas en la aguja larga señala al 12, al 3, al 6 o al 9, pues aunque muchos diseños sustituyen los números por señales, es muy habitual que estos números se mantengan. Y, en tal caso, la aguja podría superponerse con el número o estar demasiado cerca, dando sensación de continuidad y amontonamiento. La eliminación de horas como las 11:15, las 15:45 y otras como estas, dará a la imagen una mayor claridad.

Llegados a este punto son pocas la horas que nos pueden servir: las 00:20, las 01:25, las 01:50, las 02:55, las 03:35, las 04:40, las 05:05, las 06:10, las 06:50, las 07:55, las 08:20, las 09:05, las 09:25, las 10:10 y las 11:40.

A continuación eliminamos aquellas que su lectura comporte un valor negativo, como en el caso de las 02:55 o “las tres menos cinco” o las 04:40 o “las cinco menos veinte”, porque es preferible, a nivel psicológico, un lenguaje más positivo como “las cinco y cinco” o “las seis y diez”, por ejemplo. Así nos quedan ocho posibilidades, de las que eliminamos las 01:25 y las 09:25, porque esos veinticinco minutos suponen que la aguja corta esté a medio camino entre la hora marcada y la siguiente, formando un ángulo menor que el buscado.

De las seis restantes mantenemos aquellas que permitan ver claramente la marca del reloj, que se suele colocar en la parte superior, por encima del centro del círculo. Estas horas son: las 06:10, las 08:20 y las 10:10.

La primera de ellas no nos sirve en el caso de que se ponga alguna indicación —como el modelo o tipo de reloj— en la esfera, ya que el lugar idóneo es en la parte inferior por debajo del centro del círculo. Así que quedan dos.

Si la esfera fuera un rostro, las agujas dibujarían una mueca de tristeza a las 08:20 y una sonrisa a las 10:10. No resulta difícil escoger.

Las 10:10, hora conocida como happy hour por aquello de la sonrisa, es la elegida por cuestiones fotogénicas. Y la costumbre se ha seguido para los relojes digitales sin importar el modelo, la procedencia o el precio. Aunque algunas marcas intentan dar un toque de originalidad o rebeldía cambiando la hora, pero solo se atreven a cambiarla un poquito como en el caso del Omega que señala las 10:08, o el Pulsar que señala las 10:09. Y aunque la hora no tenga esta justificación en los relojes digitales, se sigue la costumbre en algunos de sus anuncios.

Otra cosa más. Cuando hay segundero señala hacia los 25 o los 35 segundos, porque marcar los 30 —que sería la posición que dividiría el círculo en tres partes iguales— dejaría la imagen algo rígida y este pequeño desvío lateral rompe el dibujo puramente matemático.

Cosas de la costumbre…

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Texto de la entrada cedido por 1de3.com.

Un caleidociclo es una forma geométrica tridimensional dotada de giro.

El término aparece por primera vez en el libro M.C. Escher Calidociclos de Scahttschneider y Wallace (1977), y se deriva de los vocablos griegos: cali, ‘belleza’; eidos, ‘forma’ y ciclo, ‘volver al punto de origen’.

Se construyen generalmente en papel y se usan en diseño gráfico, como material didáctico de cuestiones matemáticas y geométricas y como entretenimiento.

Vamos, pues, a entretenermos construyendo uno. Sigamos los siquientes pasos:

Primero imprimir la siguiente plantilla (mejor en horizontal y ocupando toda la hoja).

Recortar y marcar las dobleces siguiento todas las líneas.

Encolar los rombos de la parte inferior en las pestañas (con la leyenda “encolar”) de la parte superior. Para ello, el vértice inferior del rombo coloreado en amarillo se lleva, por debajo, hasta volver a subir por el lado superior y entonces se encola en la correspondiente pestaña.

Se hace lo mismo con las otras pestañas.

Finalmente, las dos pestañas sin leyenda del lateral se encolan y se introducen el en hueco que queda en el otro extremo, cerrando el anillo. El caleidociclo ya está montado. Ahora se puede decorar o, si se prefiere, se puede hacer sobre la plantilla antes de doblar y pegar.

Se puede ver cómo opera en el siguiente video:

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Las siglas GPS significan Global Position System, ‘Sistema de Posicionamiento Global’. Es un sistema que permite conocer la posición de algo o alguien en cualquier lugar del mundo con una gran precisión. Este sistema fue desarrollado, instalado y operado por el Departamento de Defensa de EEUU.

Antiguamente, nuestros antepasados se guiaban por la posición del Sol durante el día y por la estrella Polar por las noches, cargaban cartas y mapas de navegación y deducían su posición basándose en el uso de la brújula y el sextante. En la actualidad, nosotros solamente necesitamos un pequeño aparato de precio asequible con GPS integrado, para conocer exactamente nuestra posición en cualquier parte del mundo.

Pero… ¿cómo funciona el GPS? ¿por qué sabe dónde nos encontramos?

El funcionamiento del GPS se basa en una red de satélites formada por 24 unidades en órbitas sincronizadas alrededor del globo terráqueo, tal como se aprecia en la imagen. Así, cualquier punto del globo está “cubierto” por varios satélites.

Para situar una posición, el GPS se basa en la triangulación, un principio matemático que determina la posición exacta de un punto conociendo las distancias de éste a otros tres puntos de ubicación conocida. Para ello solo hay que trazar tres circunferencias imaginarias con centro en los puntos conocidos y cuyos radios coincidan con la distancia del punto a determinar. Las tres circunferencias se cortan en un único punto: la posición a determinar.

Así pues, en teoría, solamente es necesario conocer la posición de tres satélites (y su distancia al aparato receptor de GPS) para poder calcular nuestra posición. Esto parece fácil, pero su aplicación supone bastantes inconvenientes, entre los que el económico no es el menor. Pero todo se soluciona con la inclusión de la medición de un cuarto satélite y algunos cálculos correctivos.

Ahora bien… ¿cómo medimos la distancia de nuestro receptor a los satélites?

La distancia a un satélite se determina comparando el tiempo que tarda una señal de radio, que éste emite, en alcanzar nuestro receptor de GPS, con la misma señal generada en el mismo instante por nuestro receptor. El retardo existente entre ambas determina el tiempo que la primera tardó en llegar. Ai ahora multiplicamos dicho valor por la velocidad de la luz obtendremos la distancia al satélite.

Pero no solamente es necesario conocer la distancia al satélite, también se debe conocer su posición, puesto que podría estar a la misma distancia desde diferentes posiciones invalidando el cálculo. Por ello los satélites se mantienen en órbitas definidas, regulares y predecibles a unos 20.000 km de altura, según un patrón que reconocen los receptores de GPS, que también reciben las eventuales correcciones de rumbo por sutiles desviaciones por evolución orbital.

La atmósfera interfiere en el tiempo de llegada de la señal desde los satélites. Una señal de GPS pasa a través de partículas cargadas en su paso por la ionosfera y luego pasa a través de vapor de agua en la troposfera, perdiendo algo de velocidad. Y lo hace de manera desigual dependiendo de la densidad de estas partículas en esa parte del mundo. Así se crea el mismo efecto que un error de precisión en los relojes a la hora de sincronizar las señales de radio.

Pero ello se arregla con la inclusión de la medición a un cuarto satélite. Cualquier error debido a la sincronización de las señales (los satélites possen un reloj atómico, pero los receptores de GPS no) o a los factores atmosféricos afectaría a las tres medidas por igual, pudiendo dar un resultado erróneo. Si el error se ha producido, la cuarta señal no coincidirá con tal punto. Entonces, el receptor de GPS realiza un cálculo averiguando qué factor correctivo aplicado a las cuato mediciones las hace coincidir en el mismo punto. Y una vez lo ha hallado lo aplica, obteniendo así la posición correcta.

Nota sabionda: Los GPS actuales pueden fijar la posición con un margen de error de unos 15 a 20 m 3 m. Cuando es necesaria una mayor precisión —como en el aterrizaje en un aeropuerto— se usa el GPS diferencial, que consta de una señal adicional transmitida desde tierra y con un alcance de unos 200 km.

Nota sabionda: La Unión Europea está desarrollando su propio sistema de posicionamiento por satélite llamado Galileo.

Nota sabionda: En realidad la red consta de 27 satélites: 24 operativos y 3 de respaldo.

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Entrada elaborada a partir de la información ofrecida aquí, aquí, aquí y en otros sitios más.

La geometría no euclídea, o mejor dicho, las geometrías no euclídeas, que trabajan en campos más abstractos que la geometría euclídea o convencional y sobre superficies y espacios matemáticos en ocasiones de más tres dimensiones, nos plantean a menudo cuestiones sorprendentes que parecen escapar a toda lógica.

Un ejemplo de ello es la cinta de Möbius, introducida casi simultáneamente en 1858 por dos matemáticos alemanes, August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing, y que fue el primer ejemplo de variedad no orientable.

Para construir una cinta de Möbius como la de la imagen nada más sencillo que unir los extremos de una cinta, pero no formando un aro como sería lo más natural, sino efectuando una torsión, es decir, dotando a uno de los extremos de un giro de 180º de tal manera que pegamos el lado exterior de un extremo de la cinta sobre el lado exterior del otro extremo.

La cinta así obtenida presenta las siguientes particularidades:

1. No tiene dos bordes, tan solo uno. Fácilmente verificable siguiendo el borde con el dedo.
2. No tiene dos lados, solamente uno. Fácilmente verificable trazando una línea a bolígrafo siguiendo la única cara.
3. Si se corta la cinta longitudinalmente por la mitad no se obtienen dos cintas del mismo tamaño como sería de esperar, sino ¡una sola cinta el doble de grande!
4. Si se repite el proceso y se corta de nuevo la cinta resultante longitudinalmente por la mitad ¿se obtienen dos cintas iguales? ¿se obtiene una el doble de larga? pues no, se obtienen dos cintas iguales pero… ¡enlazadas!
5. Una nueva cinta de Möbius, pero ahora no la cortamos por la mitad, el corte ha de ser longitudinal, como siempre, pero a un tercio del borde derecho. Se comienza a cortar y no se pierde de vista el margen derecho hasta que se llega al punto de inicio del corte. Ahora obtenemos también dos cintas entrelazadas, pero ¡una es de doble tamaño que la otra!

Sorprendente ¿no?

También se puede experimentar dando 2 medias vueltas a la cinta antes de unirla (aunque así no sea una cinta de Möbius), 3 medias vueltas, 5 medias vueltas…

En el siguiente vídeo se pueden ver varios de los experimentos aquí relatados y cómo se obtienen tres cintas entrelazadas si partimos de una cinta con 2 vueltas.

Nota sabionda: Se denomina geometría no euclídea a cualquier forma de geometría cuyos postulados y propiedades difieren en algún punto de los postulados de la geometría convencional formulada por Euclides. El primer ejemplo de geometría no euclídea fue la geometría hiperbólica, construida independientemente por varios autores a principios del siglo XIX.

Nota sabionda: Una variedad es el objeto geométrico estándar en matemáticas, que generaliza la noción intuitiva de curva (1-variedad) o superficie (2-variedad) a cualquier dimensión y sobre cuerpos variados (no forzosamente el de los números reales). En las variedades de dos y más dimensiones un criterio importante es determinar si tal variedad admite una orientación espacial significativa.

Si buscamos apariencia en el diccionario, encontramos lo siguiente:

apariencia
(Del lat. apparentĭa)

1. f. Aspecto o parecer exterior de alguien o algo.
2. f. Verosimilitud, probabilidad.
3. f. Cosa que parece y no es.
4. f. En el teatro, escena pintada sobre lienzo o representada con actores y muñecos, oculta por una cortina que se descorre en cierto momento de la representación.

cubrir las ~s.
1. loc. verb. salvar las apariencias (‖ disimular).
en ~.
1. loc. adv. Aparentemente, al parecer.

Y es esta palabra y no otra la que viene como anillo al dedo para titular esta entrada. Y más cuando nos centramos en la tercera acepción del término: cosa que parece y no es.

En la imagen se puede ver un vaso de tubo, de ésos que se utilizan para los cubatas y demás bebidas alcohólicas. ¿Y dónde está lo curioso? te preguntarás ¿en que está vacío?

Pues no, lo verdaderamente curioso es la siguiente afirmación: es mayor el perímetro del vaso que su altura.

Te aseguro que no lo acabo de vaciar de un trago. En apariencia (fíjate, en apariencia) es mucho más alto, pero en realidad (fíjate, parece más alto, pero no) no lo es. En realidad es mayor su perímetro.

Pero no tienes por qué creerme sin más, vamos a comprobarlo. Un vaso de tubo medio mide unos 16,50 cm de altura y tiene un diámetro de unos 6 cm. Para calcular el perímetro de la circunferencia utilizamos la siguiente fórmula:

Perímetro = diámetro x pi
P = 6 x 3,14
P = 18,84 cm

que supera los 16,50 cm de la altura del vaso medio (incluso los 18 cm de otro vaso que acabo de encontrar).

Es posible que cuando quieras explicarlo o cuando quieras quedarte con tus amigos no lleves una calculadora encima, así que lo mejor será que midas el perímetro con algo que tengas a mano: una pulsera, el cordón de un zapato o incluso una servilleta… que te servirán para rodearlo y hallar su medida. Luego, con cuidado, coloca una punta en la base y la otra… quedará unos centímetros por encima del borde.

Et voilà: prueba superada.