La geometría no euclídea, o mejor dicho, las geometrías no euclídeas, que trabajan en campos más abstractos que la geometría euclídea o convencional y sobre superficies y espacios matemáticos en ocasiones de más tres dimensiones, nos plantean a menudo cuestiones sorprendentes que parecen escapar a toda lógica.

Un ejemplo de ello es la cinta de Möbius, introducida casi simultáneamente en 1858 por dos matemáticos alemanes, August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing, y que fue el primer ejemplo de variedad no orientable.

Para construir una cinta de Möbius como la de la imagen nada más sencillo que unir los extremos de una cinta, pero no formando un aro como sería lo más natural, sino efectuando una torsión, es decir, dotando a uno de los extremos de un giro de 180º de tal manera que pegamos el lado exterior de un extremo de la cinta sobre el lado exterior del otro extremo.

La cinta así obtenida presenta las siguientes particularidades:

1. No tiene dos bordes, tan solo uno. Fácilmente verificable siguiendo el borde con el dedo.
2. No tiene dos lados, solamente uno. Fácilmente verificable trazando una línea a bolígrafo siguiendo la única cara.
3. Si se corta la cinta longitudinalmente por la mitad no se obtienen dos cintas del mismo tamaño como sería de esperar, sino ¡una sola cinta el doble de grande!
4. Si se repite el proceso y se corta de nuevo la cinta resultante longitudinalmente por la mitad ¿se obtienen dos cintas iguales? ¿se obtiene una el doble de larga? pues no, se obtienen dos cintas iguales pero… ¡enlazadas!
5. Una nueva cinta de Möbius, pero ahora no la cortamos por la mitad, el corte ha de ser longitudinal, como siempre, pero a un tercio del borde derecho. Se comienza a cortar y no se pierde de vista el margen derecho hasta que se llega al punto de inicio del corte. Ahora obtenemos también dos cintas entrelazadas, pero ¡una es de doble tamaño que la otra!

Sorprendente ¿no?

También se puede experimentar dando 2 medias vueltas a la cinta antes de unirla (aunque así no sea una cinta de Möbius), 3 medias vueltas, 5 medias vueltas…

En el siguiente vídeo se pueden ver varios de los experimentos aquí relatados y cómo se obtienen tres cintas entrelazadas si partimos de una cinta con 2 vueltas.

Nota sabionda: Se denomina geometría no euclídea a cualquier forma de geometría cuyos postulados y propiedades difieren en algún punto de los postulados de la geometría convencional formulada por Euclides. El primer ejemplo de geometría no euclídea fue la geometría hiperbólica, construida independientemente por varios autores a principios del siglo XIX.

Nota sabionda: Una variedad es el objeto geométrico estándar en matemáticas, que generaliza la noción intuitiva de curva (1-variedad) o superficie (2-variedad) a cualquier dimensión y sobre cuerpos variados (no forzosamente el de los números reales). En las variedades de dos y más dimensiones un criterio importante es determinar si tal variedad admite una orientación espacial significativa.

Si buscamos apariencia en el diccionario, encontramos lo siguiente:

apariencia
(Del lat. apparentĭa)

1. f. Aspecto o parecer exterior de alguien o algo.
2. f. Verosimilitud, probabilidad.
3. f. Cosa que parece y no es.
4. f. En el teatro, escena pintada sobre lienzo o representada con actores y muñecos, oculta por una cortina que se descorre en cierto momento de la representación.

cubrir las ~s.
1. loc. verb. salvar las apariencias (‖ disimular).
en ~.
1. loc. adv. Aparentemente, al parecer.

Y es esta palabra y no otra la que viene como anillo al dedo para titular esta entrada. Y más cuando nos centramos en la tercera acepción del término: cosa que parece y no es.

En la imagen se puede ver un vaso de tubo, de ésos que se utilizan para los cubatas y demás bebidas alcohólicas. ¿Y dónde está lo curioso? te preguntarás ¿en que está vacío?

Pues no, lo verdaderamente curioso es la siguiente afirmación: es mayor el perímetro del vaso que su altura.

Te aseguro que no lo acabo de vaciar de un trago. En apariencia (fíjate, en apariencia) es mucho más alto, pero en realidad (fíjate, parece más alto, pero no) no lo es. En realidad es mayor su perímetro.

Pero no tienes por qué creerme sin más, vamos a comprobarlo. Un vaso de tubo medio mide unos 16,50 cm de altura y tiene un diámetro de unos 6 cm. Para calcular el perímetro de la circunferencia utilizamos la siguiente fórmula:

Perímetro = diámetro x pi
P = 6 x 3,14
P = 18,84 cm

que supera los 16,50 cm de la altura del vaso medio (incluso los 18 cm de otro vaso que acabo de encontrar).

Es posible que cuando quieras explicarlo o cuando quieras quedarte con tus amigos no lleves una calculadora encima, así que lo mejor será que midas el perímetro con algo que tengas a mano: una pulsera, el cordón de un zapato o incluso una servilleta… que te servirán para rodearlo y hallar su medida. Luego, con cuidado, coloca una punta en la base y la otra… quedará unos centímetros por encima del borde.

Et voilà: prueba superada.